Operator zwarty

Operator zwarty (operator pełnociągły) – operator liniowy między przestrzeniami Banacha przeprowadzający ograniczone podzbiory dziedziny na warunkowo zwarte podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że domknięcie obrazu zbioru ograniczonego jest zwarte. Każdy operator zwarty jest automatycznie ograniczony. Dla operatora liniowego T: E → F przekształcającego przestrzeń Banacha E w F następujące warunki równoważne i bywają obierane za definicję operatora zwartego przez różnych autorów. 1. * domknięcie obrazu T(B) jest zwarte w F dla każdego zbioru ograniczonego B w E (tj. T jest zwarty według wprowadzonej wyżej definicji), 2. * domknięcie obrazu T(B) jest zwarte w F, gdzie B oznacza kulę jednostkową w E, 3. * obraz T(B) jest całkowicie ograniczony w F dla każdego zbioru ograniczonego B w E, 4. * dla każdego ograniczonego ciągu (xn) punktów przestrzeni E ciąg (Txn) zawiera podciąg zbieżny.