dualità

In matematica il tema della dualità è importante e pervasivo,ma non vi è una definizione universalmente accettata in grado di unificaretutte le sue accezioni. In linea generale si può dire che una dualità è una endofunzione che agisce suuna teoria matematica, da intendersi come un sistema logicamente coerente di definizioni,teoremi e strutture, in modo da trasformare tali componenti in altre definizioni, teoremi e strutture. In gran parte dei casi una dualità consiste in una involuzione, ma non sempre. Si possono quindi distinguere le dualità involutorie dalle non involutorie. Nel seguito di questo articolo, dato che esaminiamo soprattutto le involutorie, le chiameremo semplicemente dualità. Nei casi più semplicemente definiti una dualità è una involuzione entro un insieme di formule (ad esempio entro l'insieme delle uguaglianze per i sottoinsiemi di un insieme ambiente) o entro un insieme di strutture (ad esempio l'insieme dei poliedri convessi). Il trasformato B di una nozione A da parte di una dualità involutoria d, B:=d(A), si dice duale di A; per il carattere involutorio della endofunzione d(d(A)) = A. In taluni contesti una tale nozione A viene detta primale della B. Una nozione che coincide con la propria duale viene detta autoduale: ad esempio sono autoduali l'operazione della complementazione dei sottoinsiemi di un dato insieme e la classe dei tetraedri rispetto alla trasformazione di un poliedro nel suo duale. L'importanza di una dualità entro una teoria riguarda il fatto che facendo riferimento ad essa la teoria stessa può essere sviluppata più economicamente (si possono risparmiare dimostrazioni di teoremi duali) e può essere esposta più organicamente.