exponentielle de base a
Also known as exponential, exponential function of base a, exponential map
fonction mathématique
Key facts
- General definition
- exp z = e z {\displaystyle \exp z=e^{z}}
- Domain
- C {\displaystyle \mathbb {C} }
- Image
- { ( 0 , ∞ ) for z ∈ R C ∖ { 0 } for z ∈ C {\displaystyle {\begin{cases}(0,\infty )&{\text{for }}z\in \mathbb {R} \\\mathbb {C} \setminus \{0\}&{\text{for }}z\in \mathbb {C} \end{cases}}}
- Value at 1
- e
- Fixed point
- − W n (−1) for n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
- Reciprocal
- exp ( − z ) {\displaystyle \exp(-z)}
- Inverse
- Natural logarithm , Complex logarithm
- Derivative
- d d z exp z = exp z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \!\,z}}\exp z=\exp z}
- Antiderivative
- ∫ exp z d z = exp z + C {\displaystyle \int \exp z\,dz=\exp z+C}
- Taylor series
- exp z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
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Article · Français
En analyse réelle, l'exponentielle de base a est la fonction notée expa qui, à tout réel x, associe le réel ax. Elle n'a de sens que pour un réel a strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier n associe an. C'est donc la version continue d'une suite géométrique. Elle s'exprime à l'aide des fonctions usuelles exponentielle et logarithme népérien sous la forme Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur ℝ, prenant la valeur a en 1 et transformant une somme en produit. Pour a différent de 1, c'est la réciproque de la fonction logarithme de base a. On appelle d'ailleurs parfois ces fonctions les fonctions antilogarithmes. Le cas a = e correspond aux fonctions exponentielle et logarithme népérien. Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions dérivables sur ℝ, proportionnelles à leur dérivée et prenant la valeur 1 en 0. Elles permettent de modéliser les phénomènes physiques ou biologiques dans lesquels la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population. On trouve aussi le terme de fonctions exponentielles pour des fonctions dont l'expression est N ax.
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