指數函數

Also known as exponential, exponential function of base a, exponential map

指數為變量x的函數

Key facts

General definition: exp ⁡ z = e z {\displaystyle \exp z=e^{z}}
Domain: C {\displaystyle \mathbb {C} }
Image: { ( 0 , ∞ ) for z ∈ R C ∖ { 0 } for z ∈ C {\displaystyle {\begin{cases}(0,\infty )&{\text{for }}z\in \mathbb {R} \\\mathbb {C} \setminus \{0\}&{\text{for }}z\in \mathbb {C} \end{cases}}}
Value at 1: e
Fixed point: − W n (−1) for n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
Reciprocal: exp ⁡ ( − z ) {\displaystyle \exp(-z)}
Inverse: Natural logarithm , Complex logarithm
Derivative: d d z exp ⁡ z = exp ⁡ z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \!\,z}}\exp z=\exp z}
Antiderivative: ∫ exp ⁡ z d z = exp ⁡ z + C {\displaystyle \int \exp z\,dz=\exp z+C}
Taylor series: exp ⁡ z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}

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Image: Exponentials.svg

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Sources (4)

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指数函数（英語：Exponential function）是形式為的數學函数，其中是底數（或稱基數，base），而是指數（index / exponent）。現今指數函數通常特指以為底數的指數函數（即），為数学中重要的函数，也可寫作。这里的是数学常数，也就是自然对数函数的底数，近似值为，又称为欧拉数。作为实数变量的函数，的图像总是正的（在轴之上）并递增（从左向右看），它不触及轴，尽管它可以任意程度的靠近它，即轴是这个图像的水平渐近线。一般的说，变量可以是任何实数或复数，甚至是完全不同种类的数学对象。它的反函数是定义在所有正数上的自然对数。本文集中于带有底数为欧拉数的指数函数。有时，特别是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的函数，这里的称为底数，是不等于的任何正实数。

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