Формула Фаа-ди-Бруно

Формула Фаа-ди-Бруно является обобщением формулы дифференцирования сложной функции на производные более высоких порядков. Она была названа в честь итальянского математика и священника Франческо Фаа-ди-Бруно, благодаря которому она стала известна (примерно в 1855 году), хотя реально первооткрывателем этой формулы является , который более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно сделал первые публикации на эту тему. Возможно, наиболее известна формула Фаа ди Бруно в следующем виде: где сумма по всем кортежам длины n из неотрицательных целых чисел (m1, …, mn), удовлетворяющих ограничению Иногда, для лучшего запоминания, формула записывается в виде однако это снижает очевидность комбинаторной интерпретации. Суммируя члены с фиксированным значением m1 + m2 + … + mn = k и заметив, что mj должен быть равен нулю при j > n − k + 1, можно прийти к несколько более простой формуле, выраженной через полиномы Белла Bn,k(x1, …, xn−k+1):