Gausskrökning

År 1828 publicerade Carl Friedrich Gauss sitt Theorema egregium (latin: "Det märkvärdiga teoremet") som bland annat förklarar varför kartor inte kan tillverkas exakt. Detta beror på att Gausskrökningen bevaras vid en isometrisk avbildning. I differentialgeometrin är Gausskrökningen det värde en punkt på en yta har. Detta värde ges av produkten mellan . Det är ett inneboende mått av krökningen, det vill säga att värdet enbart beror på hur avstånd är mätta på ytan och inte på hur ytan förhåller sig till rummet. Gausskrökningen definieras som: Där respektive är principalkrökningarna. Alternativt kan Gausskrökningen i punkten på en yta i skrivas som där är formoperatorn. Exempelvis har en cylinder Gausskrökningen noll. Om man skulle veckla ut cylindern fås ett plan som även det har krökningen noll. Om vi istället övergår till en sfär med radie så har den en konstant positiv krökning, . Planets krökning är dock noll. Därför kan inte alla geometiska objekt i överföras perfekt till ett plan och är alltså orsaken till att jorden aldrig kan avbildas utan förvrängning på en karta.