série génératrice

En mathématiques, et notamment en analyse et en combinatoire, une série génératrice (appelée autrefois fonction génératrice, terminologie encore utilisée en particulier dans le contexte de la théorie des probabilités) est une série formelle dont les coefficients codent une suite de nombres (ou plus généralement de polynômes, etc.) ; on dit que la série est associée à la suite. Ces séries furent introduites par Abraham de Moivre en 1730, pour obtenir des formules explicites pour des suites définies par récurrence linéaire. C'est une notion distincte de l'interpolation polynomiale, où l'on cherche à déterminer un polynôme dont les valeurs (et non plus les coefficients) coïncident avec une suite donnée. En fait, il existe plusieurs sortes de séries génératrices, comme les , les séries de Lambert, les séries de Dirichlet, etc. On peut associer à toute suite une série génératrice de chaque type, mais la facilité de manipulation de la série dépend considérablement de la nature de la suite associée : par exemple l'arithmétique des séries de Dirichlet reflète assez naturellement les propriétés de suites en théorie des nombres, tandis que les séries génératrices exponentielles seront quant à elles idéales pour encoder des problèmes liés aux permutations, etc. Il est souvent possible d'étudier une suite donnée à l'aide de manipulations formelles de la série génératrice associée, ainsi qu'en utilisant les propriétés analytiques de la fonction somme de la série, du moins si celle-ci converge pour un ensemble assez grand de valeurs. Ce dernier cas, assez fréquent en pratique, justifie la dénomination de fonction génératrice et constitue le socle de la combinatoire analytique (l'énumération et l'asymptotique d'objets combinatoires via des séries génératrices).Notons de plus que des séries divergentes, telles que ou , sont parfaitement et rigoureusement manipulables : elles convergent dans l'anneau des séries formelles, muni de sa topologie idoine,et peuvent aussi être étudiées asymptotiquement (via d'éventuelles transformations).