毛球定理

在代数拓扑中，毛球定理（英語：Hairy ball theorem）说明了偶数维单位球面上的连续而又处处不为零的切向量場是不存在的。具体来说，如果 f 是定义在一个单位球面上的连续函数，并且对球面上的每一点 P ，其函数值是一个与球面在该点相切的向量，那么总存在球面上的一点，使得f在该点的值为零。直观上（三维空间中的球面），不存在零点的球面向量场可以想象为一个被“抚平”的“毛球”。而这个定理最著名的通俗陈述也正是“永远不可能抚平一个毛球”。这个定理首先在1912年被魯伊茲·布勞威爾证明。 实际上，根据庞加莱-霍普夫定理，三维空间中的向量场的零点处的指数和为2，即二维球面的欧拉示性数，因此零点必然存在。对于二维环面，其欧拉特征数为0，因此“长满毛的甜甜圈”是有可能被“抚平”的。推广来说，对于任意的的偶数维紧流形，若其欧拉示性数不为0，则其上的连续的切向量場必然存在零点。