funzione W di Lambert

In matematica, la funzione W di Lambert, anche detta funzione Omega, è un insieme di funzioni, esplicitamente i rami della funzione inversa della funzione f(w) = wew, dove ew è la funzione esponenziale e w è un qualsiasi numero complesso. In altre parole l'equazione che definisce W(z) è per qualsiasi numero complesso z. Poiché la funzione ƒ non è iniettiva, la funzione W è una funzione polidroma (tranne che in 0). Restringendo l'attenzione al caso in cui W assuma solo valori reali allora la relazione è definita solo per x ≥ −1/e, e vengono assunti due valori distinti nell'intervallo (−1/e, 0); la condizione aggiuntiva W ≥ −1 definisce una funzione univoca W0(x). Si ha W0(0) = 0 e W0(−1/e) = −1. Allo stesso tempo, il ramo inferiore ha W ≤ −1 e viene indicato con la notazione W−1(x). Esso decresce da W−1(−1/e) = −1 a W−1(0−) = −∞. La funzione W non può essere espressa in termini di funzioni elementari. Essa trova applicazioni in combinatoria, ad esempio nell'enumerazione degli alberi. Può essere utilizzata nella risoluzione di equazioni che includono funzioni esponenziali (ad esempio i massimi delle distribuzioni di Planck, Bose-Einstein, e Fermi-Dirac) ed è inoltre necessaria nella risoluzione di equazioni differenziali del tipo y'(t) = a y(t − 1). Ramo principale della funzione W nel piano complesso. La tonalità rappresenta l'argomento della funzione, mentre l'intensità rappresenta il modulo.