朗伯W函数

朗伯W函数（英語：Lambert W function，又称为欧米加函数或乘积对数），是f(w) = wew的反函数，其中ew是指数函数，w是任意复数。对于任何复数z，都有： 由于函数f不是单射，因此函数W是多值的（除了0以外）。如果我们把x限制为实数，并要求w是实数，那么函数仅对于x ≥ −1/e有定义，在(−1/e, 0)内是多值的；如果加上w ≥ −1的限制，则定义了一个单值函数W0(x)（见图）。我们有W0(0) = 0，W0(−1/e) = −1。而在[−1/e, 0)内的w ≤ −1分支，则记为W−1(x)，从W−1(−1/e) = −1递减为W−1(0−) = −∞。 朗伯W函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中，例如y'(t) = a y(t − 1)。