funkcja W Lamberta

Funkcja W Lamberta lub funkcja Omega – funkcja specjalna używana podczas rozwiązywania równań zawierających niewiadomą zarówno w podstawie, jak i wykładniku potęgi. Określona jest jako funkcja odwrotna do gdzie z należy do zbioru liczb zespolonych. Oznacza się ją symbolem Zatem dla każdej liczby zespolonej z zachodzi: Ponieważ funkcja f nie jest iniekcją, zatem W(z) musi być odwzorowaniem wielowartościowym. Tworzy się zatem rodzinę funkcji gdzie oznacza numer gałęzi. Dla k=0 przyjmuje się gałąź W0(z) opisaną poniżej, rozszerzoną na wszystkie liczby zespolone. Ze wzrostem k rośnie też część urojona funkcji Wk(z). Jeśli założymy, że x oraz W(x) mają być rzeczywiste, wtedy odwzorowanie istnieje jedynie dla x ≥ −1/e, a na odcinku (−1/e,0) jest dwuwartościowe. Jeśli dodatkowo założymy, że W(x) ≥ −1, otrzymamy funkcję W0(x) przedstawioną na wykresie obok. Alternatywna gałąź oznaczana W−1(x) to funkcja malejąca od −1 (dla x = −1/e) do −∞ (dla x = 0−).