число Лиувилля

Лиувиллево число — иррациональное число , которое может быть приближено рациональными числами так, что для любого целого существует бесконечно много пар целых таких, что: . Диофантово число — иррациональное число, которое таким образом представлено быть не может, то есть при приближении рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя: . По теореме Лиувилля о приближении алгебраических чисел, всякое алгебраическое иррациональное число является диофантовым. В частности, тем самым, любое лиувиллево число трансцендентно, что позволяет явно строить трансцендентные числа как суммы сверхбыстро сходящихся рядов рациональных чисел. Диофантовы числа метрически типичны: их множество имеет полную меру Лебега. Лиувиллевы числа, напротив, типичны с топологической точки зрения: их множество остаточно. Мера иррациональности чисел Лиувилля: , кроме того, если мера иррациональности числа бесконечна, то оно лиувиллево (иногда это свойство принимается за определение чисел Лиувилля). Классический пример лиувиллева числа — постоянная Лиувилля, определяемая как: