Идеальный цифровой инвариант

Идеальный цифровой инвариант (ИЦИ, англ. PDDI, perfect digit-to-digit invariant) (известен также под именем число Мюнхаузена) — это натуральное число, равное сумме цифр, каждая цифра возводится в степень, равную этой цифре. 0 и 1 являются ИЦИ по любому основанию (при соглашении, что 00 = 0). Кроме 0 и 1, существует только два ИЦИ в десятичной системе, 3435 и 438579088 (последовательность в OEIS). Заметим, что второе из этих чисел является ИЦИ только при соглашении, что 00 = 0, но это стандартное соглашение в этой области. Более обще, существует конечное число ИЦИ по любому основанию. Это можно доказать следующим образом: Пусть дано основание . Любой ИЦИ по основанию равно сумме цифр и каждая цифра возведена в степень, равную этой цифре. Эта сумма меньше либо равна , где — число цифр в , поскольку является наибольшей возможной цифрой по основанию . Тогда,Выражение растёт линейно от , а выражение растёт экспоненциально от . Так что существует некоторое число , такое, чтоСуществует конечное число натуральных чисел , имеющих менее k цифр, так что существует конечное число натуральных чисел , удовлетворяющих первому неравенству. Таким образом, существует конечное число ИЦИ по основанию . Ниже нижний индекс у числа показывает основание счисления. По всем основаниям 1 является ИЦИ.По основанию 3 существует 2 ИЦИ, а именно 123 и 223. (510 и 810)По основанию 4 существует 2 ИЦИ, а именно 1314 и 3134 (2910 и 5510)По основанию 6 существует 2 ИЦИ, а именно 223526 и 234526 (316410 и 341610)По основанию 7 существует 1 ИЦИ, а именно 134547 (366510)По основанию 9 существует 3 ИЦИ, а именно 319, 1562629 и 16565479 (2810, 9644610 и 92336210) При соглашении следующие числа являются ИЦИ По всем основаниям 0 является ИЦИ.По основанию 4 существует один дополнительный ИЦИ, а именно 1304 (2810)По основанию 5 существует 2 ИЦИ, а именно 1035 и 20245 (2810 и 26410)По основанию 8 существует 2 ИЦИ, а именно 4008 и 4018 (25610 и 25710)По основанию 9 существует 3 дополнительных ИЦИ, а именно 309, 16470639 и 346640849 (2710, 917.13910 и 16.871.32310)