Панциферное число

В математике, панциферное число является целым числом (в какой-то выбранной системе счисления), в котором каждая цифра данной системы счисления появляется по крайней мере один раз. Например, 1223334444555556666667777777888888889999999990 - это панциферное число в десятичной системе счисления. Последовательность перечисляет несколько первых панциферных чисел в десятичной системе: 1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689 Самое маленькое панциферное число в системе счисления с основанием b — это целое число, принимающее форму: Данная таблица перечисляет наименьшие панциферные числа в некоторых выбранных системах счисления: перечисляет значения панциферных чисел в десятичной системе для первых 18 систем счисления. Тривиальным образом, все положительные целые числа являются панциферными в унарной системе счисления. В бинарной системе счисления, все целые числа являются панциферными, кроме 0 и чисел, принимающих форму (Число Мерсенна). Чем больше система счисления, тем меньше в ней панциферных чисел, хотя всегда можно найти панциферных чисел, следующих друг за другом с излишними цифрами, если написать все цифры выбранной системы счисления вместе (но не ставя ноль или нули в начало) и добавить x + 1 нулей в конце. Также, наоборот, чем меньше система счисления, тем меньше панциферных чисел без излишних цифр в ней существует. 2 это единственное такое панциферное число в бинарной системе счисления, в то время как таких чисел больше в десятичной системе счисления. Иногда, термин «панциферное число» используется только для тех панциферных чисел, у которых нету излишних цифр. В некоторых случаях, число может называться панциферным даже если в нём нету нуля или нулей. К примеру, 923456781 (такие числа иногда называются «безнулевыми панциферными числами»). Ни одно панциферное число в десятичной системе счисления не может быть простым числом, если у него нету излишних цифр. Сумма цифр от 0 до 9 равна 45, а данное число делится без остатка как на 3, так и на 5, так и на 9. Первое панциферное число в десятичной системе счисления это 10123457689; продолжает последовательность. По разным причинам, излишние цифры также нужны, чтобы панциферное число (в любой системе счисления кроме унарной) было также палиндромом в этой системе счисления. Наименьшее панциферное палиндромное число в десятичной системе это 1023456789876543201. Наибольшее панциферное число без излишних цифр, которое также является квадратным числом, это 9814072356. Двое из безнулевых панциферных чисел Фридмана это: 123456789 = ((86 + 2 × 7)5 — 91) / 34, и 987654321 = (8 × (97 + 6/2)5 + 1) / 34. Панциферное число Фридмана без излишних цифр это квадратное число: 2170348569 = 465872 + (0 × 139). В то время, как многое, что было выше сказано не применяется к римским цифрам, существуют панциферные числа: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI. Эти числа, перечисленные в , используют каждую цифру только единожды, в то время как в перечислены римские цифры с повторениями. Панциферные числа иногда полезны в рекламе. К примеру, некоторые банки используют рекламу с изображением банковских карт, на которых изображены панциферные числа с излишними числами, тем самым делая изображённую банковскую карту фиктивной.