Представление фазового пространства

В представлении фазового пространства квантовая механика трактует единообразно как координаты, так и импульсы частиц, которые образуют фазовое пространство, в отличие от трактовки Шредингера, где используется координатное или импульсное представления (см. ). Два ключевых элемента физической картины в представлении фазового пространства состоят в следующем: квантовое состояние описывается квазивероятностным распределением (вместо волновой функции, векторами состояний или матрицей плотности), и оператор умножения заменяется звёздочным произведением. Теория была полностью разработана Хилбрандом Груневолдом в 1946 году в своей кандидатской диссертации и независимо Джо Моялем. Каждая из этих работ базировались на более ранних идеях, сформулированных Германом Вейлем и Юджином Вигнером. Главное преимущество квантовой механики в представлении фазового пространства заключается в том, что оно делает квантовую механику аналогичной гамильтоновой механике, избегая формализма операторов, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» Гильбертова пространства. Эта формулировка носит статистический характер и предлагает логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет естественное сравнение между ними в так называемом классическом пределе, то есть при . Квантовая механика в фазовом пространстве часто выступает в определённых приложениях квантовой оптики (см. ), при изучении декогеренции и целом ряде специальных технических проблем, хотя этот формализм редко используется на практике. Концептуальные идеи, лежащие в основе развития квантовой механики в фазовом пространстве, воплотились в математических ответвлениях, таких как алгебраическая теория деформирования (см. ) и некоммутативная геометрия.