Polylogarithmus

Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe definiert ist. Für geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über: In den Fällen und spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe und mit . Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere ausdehnen. In den wichtigsten Anwendungsfällen ist eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken. Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z. B. ) einzeln berechnet werden.