racine carrée de deux

La racine carrée de deux, notée √2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C’est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : √2 ≈ 1,414 213 562. Le calcul d’une valeur approchée de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les algorithmes de calculs d’extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d’optimiser ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de mémoire. Géométriquement, √2 est le rapport de la diagonale d'un carré sur son côté, dit autrement le rapport de l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle sur l'un des côtés de l'angle droit, ce qui est un cas particulier du théorème de Pythagore. Le nombre √2 est connu depuis longtemps : en Mésopotamie, les scribes savaient déjà en calculer une valeur approchée très précise, dans le premier tiers du second millénaire avant notre ère. Vraisemblablement vers le Ve siècle av. J.-C., les mathématiciens grecs ont montré que la diagonale d'un carré et son côté étaient incommensurables, ce qui revient à dire que √2 est un irrationnel. L'étude de l'incommensurabilité a joué un rôle important dans le développement des mathématiques grecques. Pour les Grecs, ni les fractions, ni les irrationnels ne sont des nombres. Ce pas est franchi par les mathématiciens arabes à l'origine de l'algèbre. Ce nombre intervient dans des applications de la vie courante : * les feuilles de papier au format international (ISO 216) ont une proportion longueur/largeur approchée à √2 ; * en musique, le rapport des fréquences de la quarte augmentée de la gamme tempérée vaut √2 ; * en électricité, la tension maximale du courant alternatif monophasé domestique vaut √2 fois la tension efficace indiquée (généralement 110 ou 230 V) ; * en photographie, la suite des valeurs d’ouverture du diaphragme sont les valeurs approchées d’une suite géométrique de raison √2.