空間對稱群

一個物件（如一維、二維或三維中的圖像或信號）的對稱群是指在複合函數運算下不變的所有等距同構所構成的群。其為所考慮之空間的等距同構群中的一個子群。 （若沒有另外注明，則本文只考慮在歐幾里得空間內的對稱群，但此一概念亦可以被應用在更廣義的用途上，詳見下文。） 「物件」可以是幾何形狀、圖像及模式，如。其定義能夠以詳述圖像或模式的方式，如將位置附上一組顏色的值的函數，來使其更為精確。對如三維物體的對稱，可能亦會想要考量其物理上可能的組合。空間中等距同構的群可以產生一個作用於此群本身物件上的群作用。 對稱群有時亦稱為全對稱群，以強調其會產生一個圖像不會改變的反轉定位之等距同構（如鏡射、和不純旋轉）。會保留其定位之同距同構（如平移、旋轉和此兩者的組合）的子群則稱為其純對稱群。一物件的純對稱群若等同於其全對稱群，則稱此物件為對掌的（也因此不存在使其不變的反轉之等距同構。) 任何其元素有著相同個不動點的對稱群都可以由選定其原點為不動點來被表示成一個正交群O(n)的子群，其對所有的有限對稱群及有界圖像之對稱群皆為真的。 離散對稱群可以分成三種類型： 1. * 有限點群，其包含有旋轉、鏡射、反演和不純旋轉，且實際上只是正交群O(n)的子群； 2. * 無限群，其包括平移； 3. * 無限空間群，其結合有上述兩種類型的元素，且亦包含有如和等額外的對稱。 另外亦有著包含任意小角度的旋轉或任意小距離的平移之「連續」對稱群。一個球面O(3)的所有對稱所組成的群即是一種連續對稱群，而通常如此類的連續對稱的群是在李群中所研究的對象。對歐幾里得群子群的分類會對應到對稱群的分類。 兩個幾何形狀被認為是有著相同的對稱型，若其對稱群為歐幾里得群E(n)（Rn的等距同構群）的共軛群，其中一個群G的兩個子群H1和H2為共軛的，若存在一G內的元素g能使得H1=g-1H2g。例如： * 兩個三維圖形有著鏡面對稱，但對應著不同的鏡面。 * 兩個三維圖形有著旋轉對稱，但對應著不同的旋轉軸。 * 兩個二維圖形有著平移對稱，各在各的方面；此兩者有著長度相同但方向不同的平移向量。 有時，「相同對稱型」更廣義的概念會被使用，而可以產生如17個壁紙群之類的類型。 當考慮等距同構群時，可以將其縮限在於等距同構下之圖像的點皆為拓撲閉合的。如此便排除了如一維中以有理數之距離平移所構成的群。一個具有對稱群的「圖像」是不可伸縮的，且即使達到任意詳盡的均勻，亦不會有真正的均勻。