тензор

Те́нзор (от лат. tensus, «напряжённый») — применяемый в математике и физике объект линейной алгебры, заданный на векторном пространстве конечной размерности . В физике в качестве обычно выступает физическое трёхмерное пространство или четырёхмерное пространство-время, а компонентами тензора являются координаты взаимосвязанных физических величин. Использование тензоров в физике позволяет глубже понять физические законы и уравнения, упростить их запись за счет сведения многих связанных физических величин в один тензор, а также записывать уравнения в форме, не зависящей от выбранной системы отсчета. Тензоры различаются по типу, который определяется парой натуральных чисел , где — контравариантный, а — ковариантный ранг (и говорят раз контравариантный и раз ковариантный тензор), а сумма называется просто рангом тензора. Тензоры типа — это векторы линейного пространства, полилинейно связанного с пространством и обозначаемого или . Размерность равна числу компонент тензора, а сами компоненты представляют собой координаты тензора в в базисе, «привязанном» к базису пространства . Ранг тензора вместе с размерностью пространства определяют количество компонент тензора , а ковариантный и контравариантный ранг — характер их зависимости от базиса в пространстве . Именно полилинейная связь между и позволяет идентифицировать векторы из как тензоры на , а не просто векторы некоторого пространства, так как при замене базиса в , также меняется базис в и координаты тензора как вектора этого пространства. Поэтому говорят о координатном представлении тензора в базисе пространства . Несмотря на изменения компонент тензора при смене базиса, тензоры, как алгебраические и геометрические объекты, от базиса не зависят — одному и тому же объекту могут соответствовать разные наборы координат в разных базисах. Компоненты тензора при фиксированном базисе можно структурировать в виде -мерной таблицы . При ранге 0 таблица представляет собой одно число, при ранге 1 — упорядоченный набор (вектор-столбец или вектор-строка), при ранге 2 — квадратную матрицу, при ранге 3 — трёхмерный куб и т. д. В общем случае визуальное представление для больших рангов затруднительно. Таким образом, тензоры типа (1,0) — это векторы пространства , (0,1) — линейные функционалы (ковекторы) на , образующие сопряженное пространство той же размерности. Тензоры 2 ранга — это тензоры типа (0,2) (билинейные формы), (1,1) (линейные операторы) и (2,0). К тензорам (ранга 0) относятся также скаляры — элементы поля, на котором задано пространство (обычно это действительные или комплексные числа). Скаляры не изменяются (инвариантны) при смене базиса. Компоненты тензора типа записываются с помощью верхних (контравариантных) и нижних (ковариантных) индексов: . Например, векторы в тензорном обозначении записываются с одним верхним индексом , линейные операторы — с нижним и верхним индексами: , билинейные формы (дважды ковариантные тензоры) — с двумя нижними индексами . Тензор типа (например, тензор кривизны Римана) будет записан как . В приложениях часто применяются тензорные поля, которые сопоставляют различным точкам пространства разные тензоры (например, тензор напряжений внутри объекта). Тем не менее, часто их упрощенно тоже называют тензорами. Тензоры были популяризованы в 1900 году Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро, которые продолжили более ранние работы Бернхарда Римана и Элвина Бруно Кристоффеля. Слово «тензор» придумал немецкий физик В. Фогт в 1898 году.