Bairesche Klasse

Die baireschen Klassen stellen eine partielle Klassifizierung der reellen Funktionen dar. Sie ist zum ersten Mal von René Louis Baire in seiner Dissertation vom Jahre 1898 aufgestellt worden und als Antwort auf die zum ersten Mal von Dini (1878) gestellten Frage gedacht worden, ob jede Funktion eine analytische sprich durch Grenzübergang aus elementaren Funktionen gewonnene Darstellung hat. Inspiration für solche Untersuchungen ist die von Karl Weierstraß in seinem Approximationssatz formulierte Erkenntnis gewesen, dass jede stetige Funktion Limes von Polynomenfolgen ist. Baire setzt diese Idee fort, in dem er die Klasse aller Funktionen definiert, die Limes von stetigen Funktionenfolgen sind, und nennt diese Funktionen Funktionen der ersten Klasse. Limites von Funktionenfolgen aus der ersten Klasse bilden die zweite bairesche Klasse, aus der zweiten Klasse – die dritte Klasse usw. Die Untersuchung der baireschen Klassen ist später von Henri Léon Lebesgue, Émile Borel, Felix Hausdorff und William Henry Young aufgegriffen worden. Die Hoffnung, dass man durch Klassifizierung aller reellen Funktionen und aller Mengen von reellen Punkten die Kontinuumshypothese beweisen könnte, ist bei diesen Untersuchungen ein wichtiger Motivationsfaktor gewesen. Diese Hoffnung ist durch den von Hausdorff und Pawel Sergejewitsch Alexandrow im Jahre 1916 erbrachten Beweis der Kontinuumshypothese für borelsche Mengen, die mit den baireschen Klassen eng verbunden sind, noch verstärkt worden. Heutzutage wissen wir allerdings, dass eine vollständige analytische Klassifizierung der reellen Funktionen und Punktmengen genauso wie der Beweis der Kontinuumshypothese unlösbare Aufgaben sind.