fonction biharmonique

En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction φ s'écrit : où ∇ est l'opérateur nabla et Δ l'opérateur laplacien. L'opérateur Δ2 est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien. Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit : Dans un espace euclidien de dimension n, la relation suivante est toujours vérifiée : avec r la distance euclidienne : . ce qui, pour n = 3, est solution de l'équation biharmonique. Une fonction qui est solution de l'équation biharmonique est appelée fonction biharmonique. Toute fonction harmonique est biharmonique — la réciproque n'est pas vraie. L'opérateur biharmonique en coordonnées polaires s'écrit : La solution peut alors s'obtenir par séparation des variables ; c'est la (en). Pour certaines simulations numériques, on pourra utiliser la version discrète du bilaplacien.