secuencia lineal recurrente

En matemáticas, se denomina secuencia lineal recurrente de orden p a cualquier sucesión con valores en un campo conmutativo K (por ejemplo ℝ o ℂ; solo se considerará el primer caso en este artículo) definidos para todo por una relación de recurrencia lineal de la forma donde , , ... son p escalares fijos de K (con no nulo). Tal secuencia está completamente determinada por los datos de sus primeros términos p y por la relación de recurrencia. Las secuencias recurrentes lineales de orden 1 son las progresiones geométricas. El estudio de secuencias lineales recurrentes de orden superior se reduce a un problema de álgebra lineal. La expresión del término general de dicha secuencia es posible siempre que se pueda factorizar un polinomio asociado con él, denominado polinomio característico; el polinomio característico asociado con una secuencia que verifica la relación de recurrencia anterior es: Su grado es, por lo tanto, igual al orden de la relación de recurrencia. En particular, en el caso de secuencias de orden 2, el polinomio es de grado 2, y por lo tanto, puede factorizarse utilizando el cálculo de su discriminante. En consecuencia, el término general de secuencias lineales recurrentes de orden 2 puede expresarse utilizando solo los dos primeros términos, algunos valores constantes, algunas operaciones elementales de aritmética (suma, resta, multiplicación, exponencial) y el seno y coseno (si el cuerpo escalar es el cuerpo real). Una de estas secuencias es la famosa sucesión de Fibonacci, que puede expresarse a partir de potencias que involucran la proporción áurea.