Fonction êta de Dirichlet

La fonction êta de Dirichlet est une fonction utilisée dans la théorie analytique des nombres. Elle peut être définie par où ζ est la fonction zêta de Riemann. Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta sauf aux zéros du facteur 1-21-s. Elle possède une expression en série de Dirichlet, valide pour tout nombre complexe s avec une partie réelle positive, donnée par , d'où son nom parfois donné de fonction zêta alternée. Tandis que ceci est convergent seulement pour s avec une partie réelle positive, elle est sommable au sens d'Abel pour tout nombre complexe, qui servent à définir la fonction êta comme une fonction entière, et montre que la fonction zêta est méromorphe avec un pôle singulier en s = 1, et peut-être aussi des pôles aux autres zéros du facteur 1-21-s. De manière équivalente, nous pouvons commencer par définir qui est aussi définie dans la région de la partie réelle positive. Ceci présente la fonction êta comme une transformation de Mellin. Hardy a donné une démonstration simple de l'équation fonctionnelle pour la fonction êta, qui est . Cette équation fonctionnelle se déduit immédiatement de celle de la fonction zêta, mais elle est plus complexe car la fonction êta n'est pas une série L de Dirichlet (elle n'est pas déduite d'un caractère de Dirichlet).