誤差関数

Also known as erf, Gauss error function

数学におけるシグモイド形状の特殊関数（非初等関数）の一種で、確率論、統計学、物質科学、偏微分方程式などで使われる

Key facts

General definition: erf ⁡ ( z ) = 2 π ∫ 0 z e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt}
Fields of application: Probability, thermodynamics, digital communications
Domain: C {\displaystyle \mathbb {C} }
Image: ( − 1 , 1 ) {\displaystyle \left(-1,1\right)}
Parity: Odd
Derivative: d d z erf ⁡ ( z ) = 2 π e − z 2 {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}}
Antiderivative: ∫ erf ⁡ ( z ) d z = z erf ⁡ ( z ) + e − z 2 π + C {\displaystyle \int \operatorname {erf} (z)\,dz=z\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C}

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誤差関数（ごさかんすう、英: error function）は、数学におけるシグモイド形状の特殊関数（非初等関数）の一種で、確率論、統計学、物質科学、偏微分方程式などで使われる。ガウスの誤差関数とも。定義は以下の通り。相補誤差関数 (英: complementary error function) は erfc と表記され、誤差関数を使って以下のように定義される。スケーリング相補誤差関数(英: scaled complementary error function) erfcxも定義される(アンダーフローを避けるために、 erfc の代わりに用いる)。複素誤差関数 (英: complex error function) はと表記され、やはり誤差関数を使って次のように定義される（Faddeeva関数とも呼ぶ）。

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