análisis armónico

En matemáticas, el análisis armónico o análisis de Fourier estudia la representación de funciones o señales como superposición de ondas "básicas" o armónicos. Investiga y generaliza las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier. A lo largo de los siglos XIX y XX se ha convertido en una materia enorme con aplicaciones en campos diversos como el procesamiento de señales, la espectroscopia, la mecánica cuántica o la neurociencia. La transformada de Fourier clásica en R n sigue siendo un área de investigación en curso, en particular en lo que respecta a la transformada de Fourier en objetos más generales como distribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requisitos a una distribución f, podemos intentar traducir estos requisitos en términos de la transformada de Fourier de f. El teorema de Paley–Wiener es un ejemplo de ello. El teorema de Paley-Wiener implica inmediatamente que si f es una no nula de soporte compacto (esto incluye funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier nunca tiene soporte compacto (es decir, si una señal está limitada en un dominio, es ilimitada en el otro). Esta es una forma muy elemental de un principio de incertidumbre en un entorno de análisis armónico. Las series de Fourier pueden estudiarse convenientemente en el contexto del espacio de Hilbert, lo que proporciona una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional. Hay cuatro versiones de la transformada de Fourier, que dependen de los espacios mapeados por la transformación (discreta/periódica-discreta/periódica: transformada discreta de Fourier, continua/periódica-discreta/periódica: serie de Fourier, discreta/periódica-continua/periódica: transformada discreta de Fourier, continua/periódica-continua/periódica: transformada de Fourier).