Vielfach-Zetafunktion

In der Mathematik sind Vielfach-Zetafunktionen (engl.: multiple zeta functions) eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion, definiert durch Obige Reihe konvergiert wenn für alle , sie kann (analog zur Riemannschen Zeta-Funktion) durch analytische Fortsetzung als meromorphe Funktion auf definiert werden. Die Werte für positive, ganzzahlige mit werden als Multiple Zeta-Werte (engl.: multiple zeta values, MZVs) bezeichnet. Man nennt das „Gewicht“ und die „Länge“ des Arguments. Die Vielfach-Zetafunktionen wurden erstmals in der Korrespondenz zwischen Leonhard Euler und Christian Goldbach definiert. Euler bewies die Reduktionsformel für : . Zum Beispiel ist . Allgemein kann man, wenn ungerade ist, die Zweifach-Zetafunktion als rationale Linearkombination von und mit darstellen. Eine Vermutung von Alexander Goncharov besagte, dass die Perioden von über unverzweigten gemischten Tate-Motiven sich als -Linearkombinationen von Werten der Vielfachzetafunktion darstellen lassen. Für den Spezialfall des durch den Modulraum von Kurven des Geschlechts 0 mit markierten Punkten und die relative Kohomologie definierten Tate-Motivs wurde dies zunächst von Francis Brown 2007 in seiner Dissertation bewiesen. Die allgemeine Form von Goncharovs Vermutung bewies Brown dann in einer 2012 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit.