Problema de Apolonio

En geometría plana euclidiana, el problema de Apolonio consiste en encontrar las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas. Apolonio de Perge (circa 262 a. C.-circa 190 a. C.) propuso y resolvió este problema en la obra Ἐπαφαί, (Epaphaí, Tangencias).​​ Aunque esta obra se ha perdido,​ se conserva una referencia a ella en un manuscrito redactado en el siglo IV por Papo de Alejandría.​ Las circunferencias dadas son de radio arbitrario, es decir, incluyen los casos extremos de radio nulo (un punto) y de radio infinito (una recta), lo que proporciona hasta diez tipos de problemas de Apolonio.​ Excluyendo a las familias de posiciones particulares que presentan infinitas soluciones, o ninguna, y a las familias de posiciones que, por simetría, tienen algunas soluciones equivalentes o prohibidas, la resolución general del problema resulta en ocho circunferencias que son tangentes a las tres circunferencias dadas. En el siglo XVI, Adriaan van Roomen resolvió el problema utilizando la intersección de hipérbolas,​ pero esta solución no se basa únicamente en construcciones con regla y compás, por lo que puede considerarse menos elegante.​ François Viète encontró una solución aprovechando la simplificación de los puntos y rectas como casos extremos de circunferencias.​ El enfoque de Viète, que utiliza casos extremos sencillos para resolver otros más complicados, se considera una reconstrucción plausible del método de Apolonio.​ A su vez, Isaac Newton simplificó el método de van Roomen y mostró que el problema de Apolonio es equivalente a encontrar una posición conociendo las diferencias de distancias a tres puntos conocidos.​ Esta formulación tiene aplicaciones en la navegación y en sistemas de posicionamiento como el LORAN —LOng RAnge Navigation, navegación de largo alcance—,​ y, por otra parte, se han desarrollado generalizaciones del problema para otras superficies diferentes al plano, como puede ser la superficie esférica y otras superficies cuádricas.​​ Algunos matemáticos posteriores introdujeron métodos algebraicos, que transforman el problema geométrico en una ecuación algebraica.​ A estos métodos se les realizó una abstracción o simplificación, aprovechando las simetrías inherentes al problema de Apolonio: por ejemplo, las circunferencias resolutorias suelen encontrarse en parejas; en una de estas parejas, una circunferencia solución contiene las circunferencias dadas en su interior mientras que la otra no las contiene. Joseph Diaz Gergonne aprovechó esta simetría desarrollando un elegante método para encontrar las soluciones con regla y compás,​ mientras que otros matemáticos utilizaron transformaciones geométricas como la reflexión en una circunferencia —para que esta se utilice debe haber simetría del problema— para simplificar la disposición de las circunferencias dadas. Estos desarrollos ofrecen una representación geométrica a través de métodos algebraicos (utilizando la , introducida por el noruego Sophus Lie) y una clasificación de soluciones para las treinta y tres disposiciones esencialmente diferentes posibles en la posición inicial de las tres circunferencias.​ El problema de Apolonio ha impulsado mucha investigación adicional. Se han estudiado generalizaciones en tres dimensiones —la construcción de una esfera tangente a cuatro esferas dadas— y en dimensiones superiores. La disposición de tres circunferencias tangentes entre ellas ha recibido una atención especial. René Descartes dio una fórmula que relaciona los radios de las circunferencias dadas y los de las circunferencias resolutorias, que se conoce actualmente como teorema de Descartes. En este caso, la resolución iterativa del problema de Apolonio lleva a la formación de uno de los primeros fractales descubiertos y dibujados, el tamiz de Apolonio, importante en teoría de números, concretamente en los círculos de Ford y en el método del círculo de Hardy-Littlewood.​​ Su aplicación principal es determinar una posición a partir de las diferencias entre las distancias de, al menos, tres puntos conocidos mediante la trilateración hiperbólica,​ utilizada en navegación y en los sistemas globales de navegación por satélite como el GPS.​ Otras aplicaciones incluyen los códigos de corrección de errores utilizados en los discos DVD, así como desarrollos en farmacología.​