topologie

Topologie (Oudgrieks topos (τόπος), "plaats," en logos (λόγος), "studie") is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen van de ruimte die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). De topologie is een uitgroeisel van de meetkunde, maar anders dan de meetkunde, houdt de topologie zich niet bezig met metrische eigenschappen zoals de afstand tussen punten, maar met eigenschappen die beschrijven hoe een ruimte is samengesteld, zoals samenhang en oriëntatie. Het woord topologie wordt zowel gebruikt om het studiegebied zelf aan te duiden, als voor de familie van verzamelingen die bepaalde eigenschappen beschrijft die worden gebruikt om een topologische ruimte te definiëren (het basisobject van de topologie). Van bijzonder belang in de studie van de topologie zijn de vervormingen die homeomorfismen worden genoemd. Informeel kunnen deze functies worden gezien als functies die de ruimte uitrekken zonder deze echter te scheuren of verschillende delen samen te plakken. Een meer abstracte notie van een vervorming is een homotopische equivalentie, een begrip dat ook een fundamentele rol speelt. Toen de discipline aan het eind van de 19e eeuw ontstond, noemde men de topologie aanvankelijk geometria situs (Latijn: meetkunde van plaats) en analysis situs (Latijn: analyse van plaats). Topologie is intussen een grote tak van de wiskunde, die op zijn beurt weer vele deelgebieden kent. Van ongeveer 1925 tot 1975 kende de topologie een bloeiperiode en was zij een belangrijk groeigebied in de wiskunde. De meest basale en traditionele verdeling binnen de topologie is de driedeling tussen * de , die de fundamenten van de topologie neerzet en concepten zoals compactheid en samenhangendheid onderzoekt; * de algebraïsche topologie, die algemeen gesteld probeert om de graden van samenhang te meten, en die daar gebruikmaakt van algebraïsche constructies, zoals homotopiegroepen en homologie en ten slotte * de meetkundige topologie, die in de eerste plaats variëteiten en hun inbedding in andere variëteiten bestudeert. Opgemerkt dient echter te worden dat sommige van de meest actieve gebieden, zoals laag-dimensionale topologie, niet goed in deze opdeling passen. In allerlei andere deelgebieden van de wiskunde, zoals analyse, meetkunde en algebra, wordt veelvuldig gebruikgemaakt van ideeën en stellingen uit de topologie. De Nederlandse wiskundige Luitzen Egbertus Jan Brouwer heeft in de beginperiode van de topologie belangrijke bijdragen geleverd aan de ontwikkeling van het vakgebied.