超越数

超越数（ちょうえつすう、英: transcendental number）とは、代数的数でない複素数、すなわちどの有理係数の代数方程式 （n は正の整数、各 ai は有理数） のにもならない複素数のことである。有理数は一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無理数であるが、無理数 √2 は x2 − 2 = 0 の解であるから、逆は成り立たない。超越数論は、超越数について研究する数学の分野で、与えられた数の超越性の判定などが主な問題である。 よく知られた超越数にネイピア数（自然対数の底）や円周率があり、またほとんど全ての複素数が超越数であることが分かっている。ただし超越性が示されている複素数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率はともに超越数であるにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。 代数学の標準的な記号 で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って A と書けば、超越数全体の集合は となる。 なお、本稿では log を自然対数とする。