transcendent tal

Ett transcendent tal är ett tal, som inte kan definieras som ett nollställe till ett ändligt polynom med rationella koefficienter. Vissa transcendenta tal kan i stället definieras som ett gränsvärde. Kända exempel är e och π. Motsatsen är ett algebraiskt tal. Däri ingår till exempel alla rationella tal, liksom alla rötter av rationella tal. Oegentligt uttryckt är de transcendenta talen "fler" än de algebraiska (se kardinalitet), i den meningen att de algebraiska talen utgör en uppräkneligt oändlig mängd, medan det inte finns något sätt att räkna upp de transcendenta talen. Trots att det alltså finns "oändligt mycket fler" transcendenta tal än algebraiska tal känner man inte till särskilt många och det är mycket svårt att visa att ett tal är transcendent. År 1873 visade Charles Hermite att e var ett transcendent tal, och 1882 gjorde Ferdinand von Lindemann, med utnyttjande av Hermites metoder, samma sak med talet π. År 1885 visade Karl Weierstrass att ea är transcendent för varje algebraiskt tal a skilt från noll, och 1934 visade att ab är transcendent för alla de fall då uttrycket består av ett algebraiskt tal a skilt från 0 och 1, och b ett irrationellt algebraiskt tal. Det senare resultatet är känt som Gelfond–Schneiders sats.