Bez straty ogólności

Bez straty ogólności (rzadziej bez utraty ogólności, czasami skracane do b.s.o.) jest często używanym wyrażeniem w matematyce. Termin ten jest wykorzystywany do wskazania, że następujące założenie jest wybrane arbitralnie, zawężając dowodzenie twierdzenia do konkretnego przypadku, ale nie wpływa ono na ważność dowodu w ogóle. Pozostałe przypadki są na tyle podobne do wybranego, że ich dowód jest bardzo podobny lub są one z wybranym równoważne. W rezultacie po przedstawieniu dowodu w jednym, konkretnym przypadku pozostałe stają się trywialne. Często użycie „bez utraty ogólności” jest możliwe dzięki symetrii. Na przykład, jeśli wiadomo, że jakaś własność P(x, y) liczb rzeczywistych jest symetryczna, czyli P(x, y) jest równoważna P(y, x), to w dowodzie, że własność P(x, y) jest prawdziwa dla każdego x i y, można „bez utraty ogólności” założyć, że x ≤ y. Takie przejście jest uprawnione, ponieważ jeżeli udowodniony został przypadek x ≤ y ⇒ P (x, y), to dzięki symetrii prawdziwy jest też drugi przypadek, który otrzymujemy poprzez zamianę x i y: y ≤ x ⇒ P(y, x), pokazując tym samym, że własność P(x, y) jest prawdziwa we wszystkich przypadkach. Z drugiej strony, jeśli takiej symetrii (lub innej formy równoważności) nie można stwierdzić, to użycie „bez utraty ogólności” jest nieuprawnione i może prowadzić do błędów poprzez wyciąganie wniosków o całości z konkretnych przypadków.