płaszczyzna zespolona

Płaszczyzna zespolona, płaszczyzna Gaussa – geometryczny model ciała liczb zespolonych Płaszczyzna pełni w nim w stosunku do liczb zespolonych rolę analogiczną do roli, którą pełni względem ciała liczb rzeczywistych. Na płaszczyźnie wprowadzamy najpierw prostokątny kartezjański układ współrzędnych, na który składają się dwie prostopadłe do siebie osie współrzędnych przecinające się we wspólnym początku Jedna z osi, oś jest pozioma (oś odciętych), skierowana od lewej strony do prawej, a druga pionowa (oś rzędnych), jest skierowana od dołu do góry. Każdy punkt płaszczyzny jest jednoznacznie opisywany przez dwie współrzędne: odciętą i rzędną będące odpowiednio współrzędnymi rzutów punktu na oś odciętych i oś rzędnych. Każdemu tak opisanemu punktowi płaszczyzny można przyporządkować liczbę zespoloną : gdzie Przyporządkowanie to jest różnowartościowe i obrazem płaszczyzny jest w nim zbiór wszystkich liczb zespolonych. Zatem oba zbiory można utożsamić. W związku z tym oś odciętych nazywa się osią rzeczywistą, a oś rzędnych – osią urojoną (od pierwiastka kwadratowego z minus jedynki, nazywanego pierwiastkiem urojonym). Zapisujemy to następująco: Działania na liczbach zespolonych określa się następująco. Niech Wtedy Stąd wynika, że działania dodawania i mnożenia na płaszczyźnie można określić następująco: Z definicji tych wynika, że: * Dla punktów leżących na osi rzeczywistej oba działania można utożsamić z działaniami na liczbach rzeczywistych. * Dla dowolnego punktu prawdziwa jest równość * i bardziej ogólnie co oznacza, że mnożenie przez można zinterpretować na płaszczyźnie jako obrót dokoła środka współrzędnych o kąt 90°.