endomorfisme

In de wiskunde is een endomorfisme een morfisme (of een homomorfisme) van een wiskundig object op zichzelf, dat de structuur van dat object behoudt, Een endomorfisme van een vectorruimte is bijvoorbeeld een lineaire afbeelding en een endomorfisme van een groep is een groepshomomorfisme enz. In het algemeen kan men spreken over endomorfismen in elke willekeurige categorie. In de categorie van verzamelingen zijn endomorfismen simpelweg functies van een verzameling op zichzelf. In elke willekeurige categorie is de samengestelde functie van twee willekeurige endomorfismen van opnieuw een endomorfisme van Hieruit volgt dat de verzameling van alle endomorfismen van een monoïde vormen, die wordt aangeduid met (of dit om de categorie te benadrukken). Een inverteerbaar, bijectief endomorfisme van , oftewel een endomorfisme dat tevens een isomorfisme is, wordt een automorfisme genoemd. De verzameling van alle automorfismen is een deelgroep van die de van wordt genoemd en die wordt aangeduid met . In het onderstaande diagram geven de pijlen de implicatie aan: Twee endomorfismen van een Abelse groep kunnen bij elkaar worden opgeteld omdat De endomorfismen van een Abelse groep vormen dus een ring (de ). Zo is bijvoorbeeld de verzameling van de endomorfismen van de ring van alle -matrices met in de cellen gehele getallen. De endomorfismen van een vectorruimte, module, ring of algebra vormen ook een ring, net zoals de endomorfismen van enig object in een pre-additieve categorie. De endomorfismen van een niet-abelse groep genereren een algebraïsche structuur die bekendstaat als een .