algoritmo de Euclides

Em matemática, o algoritmo de Euclides é um método simples e eficiente de encontrar o máximo divisor comum entre dois números inteiros diferentes de zero. É um dos algoritmos mais antigos, conhecido desde que surgiu nos Livros VII e X da obra Elementos de Euclides por volta de 300 a.C.. O algoritmo não exige qualquer fatoração. O MDC de dois números inteiros é o maior número inteiro que divide ambos sem deixar resto. O algoritmo de Euclides é baseado no princípio de que o MDC não muda se o menor número for subtraído ao maior. Por exemplo, 21 é o MDC de 252 e 105 (252 = 21 × 12; 105 = 21 × 5); já que 252 − 105 = 147, o MDC de 147 e 105 é também 21. Como o maior dos dois números é reduzido, a repetição deste processo irá gerar sucessivamente números menores, até convergir em zero. Nesse momento, o MDC é o outro número inteiro, maior que zero. Ao reverter os passos do algoritmo de Euclides, o MDC pode ser expresso como soma dos dois números originais, cada um multiplicado por um número inteiro positivo ou negativo, por exemplo: 21 = 5 × 105 + (−2) × 252. Esta importante propriedade é denominada identidade de Bézout. A mais antiga descrição que se conhece do método usado no algoritmo de Euclides é da sua obra Elementos (c. 300 a.C.), o que o torna um dos algoritmos numéricos mais antigos ainda em uso corrente. O algoritmo original foi descrito apenas para números naturais e comprimentos geométricos, mas foi generalizado no século XIX para outras classes de números como os inteiros gaussianos e polinómios de uma variável. Isto conduziu a noções da moderna álgebra abstrata tais como os domínios euclidianos. O algoritmo de Euclides foi ainda generalizado mais a outras estruturas matemáticas, como os nós e polinómios multivariados. O algoritmo tem muitas aplicações teóricas e práticas. Ele pode ser usado para gerar quase todas as importantes aplicações tradicionais usados em diferentes culturas em todo o mundo. Ele é um elemento-chave dos algoritmos RSA, um método de criptografia de chave pública usado no comércio eletrônico. Ele é usado para resolver as equações de diofantina, tal como na descoberta de números que seja safistatório em múltiplas congruências (teorema chinês do resto) ou inverso multiplicativo de um . Ele pode também ser usado para construir frações contínuas, em um método para o teorema de Sturm para descobrir raízes reais em um polinômio, e em vários algoritmos modernos em fatoração de inteiros. Finalmente, é uma ferramenta básica para obter na teoria dos números modernas, tal como teorema de Fermat-Lagrange e no teorema fundamental da aritmética.