Funktionalkalkül

Funktionalkalküle sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Untersuchung von Banachalgebren. Im Rahmen der Operatortheorie ist hier insbesondere die Banachalgebra der beschränkten linearen Operatoren von Interesse. Zur Behandlung von unbeschränkten linearen Operatoren werden verallgemeinerte Funktionalkalküle betrachtet, bei denen zwar grundlegende algebraische Strukturen verlorengehen, die aber dennoch ein effektives Werkzeug zum Rechnen mit unbeschränkten Operatoren zur Verfügung stellen. Ist ein komplexes Polynom und ein Element einer -Banachalgebra mit Einselement , so kann man in das Polynom einsetzen, indem man setzt.Die Grundidee der Funktionalkalküle besteht darin, dieses Einsetzen in Polynome auf größere Klassen von Funktionen auszudehnen.Für beliebige -Banachalgebren mit Einselement kann ein Element in holomorphe Funktionen, die in einer Umgebung des Spektrums von definiert sind, eingesetzt werden.Für noch größere Funktionsklassen, etwa stetige oder messbare Funktionen, die auf dem Spektrum von erklärt sind, muss man sich auf spezielle Klassen von Banachalgebren beschränken, und zwar auf C*-Algebren bzw. Von-Neumann-Algebren.Dazu muss natürlich erklärt werden, was dieses Einsetzen in Funktionen überhaupt bedeuten soll.