serie di Grandi

La somma infinita 1 − 1 + 1 − 1 + ..., chiamata anche serie di Grandi, scoperta da Guido Grandi nel 1703, è una serie simile alla serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · e alla serie 1 + 1 + 1 + 1 + · · · (o serie sommativa unitaria). Essa si può rappresentare con la formula: La serie di Grandi è irregolare, nel senso che la successione delle sue somme parziali non possiede limite. Tuttavia la sua somma di Cesaro (che è un'estensione del concetto classico di serie convergente basata sulle somme parziali) è . In modo informale (e senza tenere effettivamente conto dell'applicabilità di metodi algebrici a serie non convergenti), tale serie può essere riscritta sia come: dove l'evidente risultato della sommatoria è 0, sia come: dove il risultato della sommatoria è evidentemente 1. Esiste però un terzo modo per scrivere la serie: da cui: Quindi, quello che intuitivamente ci si aspetta dalla serie di Grandi è che la sua somma, che non esiste, dovrebbe essere . E questo è quello che la somma di Cesaro coglie estendendo il concetto di convergenza. Guido Grandi, nel suo libro Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita, ottenne il terzo risultato a partire da una variante della serie geometrica, utilizzando lo sviluppo binomiale con .