pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy – dla danej liczby każda liczba której kwadrat jest równy danej liczbie innymi słowy jest to dowolne rozwiązanie równania (bądź pierwiastek wielomianu) zmiennej Każda dodatnia liczba rzeczywista ma dwa pierwiastki kwadratowe nazywane zbiorczo algebraicznymi: jeden z nich jest dodatni, nazywany często arytmetycznym (pod wyrażeniem „pierwiastek kwadratowy”, czy nawet „pierwiastek” rozumie się często właśnie jego), a drugi – ujemny. Zwykle oznacza się je odpowiednio symbolami bądź oraz gdzie jest symbolem pierwiastka; łącznie oznacza się je w skrócie (zob. znak ±). Jedynym pierwiastkiem z liczby jest ona sama; nie istnieją rzeczywiste pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych (są one urojonymi liczbami zespolonymi). W analizie matematycznej zazwyczaj stosuje się potęgową postać pierwiastka kwadratowego Liczba jest pierwiastkiem kwadratowym z ponieważ jest ona zarazem arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym tej liczby. Podobnie liczby oraz są (algebraicznymi) pierwiastkami kwadratowymi z gdyż każda z nich spełnia równanie Pierwiastki kwadratowe z liczb naturalnych są albo liczbami naturalnymi, albo niewymiernymi. Własność ta była już znana w starożytności, o czym mówi już o tym twierdzenie 9 w księdze X Elementów Euklidesa. Podejrzewa się, że niewymierność konkretnego przypadku była już znana wcześniej Pitagorejczykom, a za jej odkrywcę tradycyjnie uznawany jest Hippazos. W ogólności pojęcie pierwiastka (kwadratowego) można rozpatrywać dla przeróżnych obiektów matematycznych, na zbiorze których określone jest działanie dwuargumentowe pełniące rolę mnożenia, np. w algebrze macierzy, czy pierścieniu endomorfizmów (działania odpowiednio mnożenia macierzy i składania funkcji). W interpretacji geometrycznej dla danego pola powierzchni kwadratu pierwiastek daje długość jego boku; stąd pochodzi nazwa „kwadratowy” (zob. kwadrat (algebra)).