преобразование Вейерштрасса

В математике преобразование Вейерштрасса функции f : R → R, названное в честь Карла Вейерштрасса, представляет собой «сглаженную» версию f(x), полученную путём усреднения значений f, взвешенных с помощью гауссиана с центром в точке x. В частности, это функция F, определённая формулой то есть свёртка f с функцией Гаусса Коэффициент 1/√(4π) выбран так, чтобы общий интеграл гауссиана был равен 1, вследствие чего постоянные функции не изменяются преобразованием Вейерштрасса. Вместо F(x) также пишется W[f](x). Заметим, что F(x) не обязательно должно существовать для каждого действительного числа x, когда определяющий интеграл не сходится. Преобразование Вейерштрасса тесно связано с уравнением теплопроводности (или, что эквивалентно, уравнению диффузии с постоянным коэффициентом диффузии). Если функция f описывает начальную температуру в каждой точке бесконечно длинного стержня, который имеет постоянную теплопроводность, равную 1, то распределение температуры стержня через единицу времени t = 1 будет задано функцией F. Используя значения t, отличные от 1, мы можем определить обобщённое преобразование Вейерштрасса для f. Обобщённое преобразование Вейерштрасса предоставляет средство для сколь угодно хорошей аппроксимации заданной интегрируемой функции f аналитическими функциями.