Newton-Fraktal

Das Newtonfraktal zu einer nicht-konstanten meromorphen Funktion , die die komplexen Zahlen in sich abbildet, ist eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen. Genauer ist es die Julia-Menge zur Funktion die das Newtonverfahren zum Auffinden von Nullstellen der Funktion beschreibt. Das Newtonverfahren selbst konstruiert aus einem Startwert eine Folge mit der Rekursionsvorschrift . Abhängig vom Startwert kann der Orbit von ganz unterschiedliches Verhalten zeigen. Anmerkung: Hier bezieht sich der Exponent auf als Funktion, und nicht auf deren Funktionswert. bedeutet also die -fach iterierte Anwendung von auf (oder das -te Iterierte von ), formal also . Für die Dynamik in einer Umgebung von gibt es genau zwei Möglichkeiten: 1. * es gibt eine Umgebung von , so dass die Folge der Abstände beschränkt ist, oder 2. * für jede (noch so kleine) Umgebung von überdecken die Bilder die gesamte komplexe Ebene samt dem Punkt unendlich (also die gesamte Riemannsche Zahlenkugel). Die Punkte im ersten Fall bilden die Fatou-Menge von , die Punkte im zweiten Fall die Julia-Menge . In der Fatou-Menge kann es insbesondere vorkommen, dass die Folge der Abstände gegen null konvergiert, sich die Orbits von Punkten also dem Orbit von annähern. Falls mindestens drei Nullstellen hat, ist die Julia-Menge immer ein „Fraktal“; daher wird gelegentlich auch „Newtonfraktal von “ genannt.