frattale di Newton

Il frattale di Newton è un insieme di frontiera nel piano complesso che è caratterizzato dal metodo di Newton applicato a un polinomio o funzione trascendentale. È l'insieme di Julia della funzione meromorfa che è data dal metodo di Newton . Essa, quando non ci sono cicli attrattori (di ordine superiore a 1), divide il piano complesso in regioni , ognuna delle quali è associata alla radice del polinomio, . In questo modo il frattale di Newton è simile all'insieme di Mandelbrot, e come altri frattali mostra un aspetto complesso che deriva da una semplice descrizione. È rilevante per l'analisi numerica perché mostra che (al di fuori della regione di convergenza quadratica) il metodo di Newton può essere molto sensibile alla scelta del punto di partenza. Molti punti del piano complesso sono associati a una delle radici del polinomio nel modo seguente: il punto è usato come valore iniziale e i punti successivi sono dati dal metodo di Newton: , che produce una successione di punti . Se la successione converge alla radice , allora era un elemento della regione . Tuttavia, per ogni polinomio di grado almeno 2 ci sono punti per i quali l'iterazione di Newton non converge a nessuna radice: gli esempi sono i confini dei bacini di attrazione delle varie radici. Esistono anche polinomi per cui gli insiemi aperti di punti di partenza non convergono in nessuna radice: un semplice esempio è , dove alcuni punti sono attratti dal ciclo 0, 1, 0, 1 ... anziché da una radice. Un insieme aperto per il quale le iterazioni convergono verso una data radice o un ciclo di radici (che non è un punto fisso), rappresenta un insieme di Fatou per l'iterazione. L'insieme complementare all'unione di tutti questi è l'insieme di Julia. Gli insieme di Fatou infatti hanno un confine comune, ossia l'insieme di Julia. Pertanto ogni punto dell'insieme di Julia è un punto di accumulazione per ciascuno degli insiemi di Fatou. È proprio questa proprietà che causa la struttura frattale dell'insieme di Julia (quando il grado del polinomio è maggiore di 2).