fractal de Newton

El fractal de Newton es una frontera en el plano complejo delimitada mediante el método de Newton aplicado a un polinomio fijo p(Z) ∈ ℂ[Z] o a una función trascendente. Es el conjunto de Julia de la función meromorfa z ↦ z − p(z)p′(z), que viene dado por el método de Newton. Cuando no hay ciclos atractivos (de orden mayor que 1), divide el plano complejo en regiones Gk, cada una de las cuales está asociada con una raíz ζk del polinomio, k = 1, …, deg(p). De esta manera, el fractal de Newton es similar al conjunto de Mandelbrot y, al igual que otros fractales, exhibe una apariencia intrincada que surge de una descripción simple. Es relevante en análisis numérico porque muestra que (fuera de la región de orden de convergencia) el método de Newton puede ser muy sensible a la elección del punto de inicio. Muchos puntos del plano complejo están asociados con una de las raíces deg(p) del polinomio de la siguiente manera: el punto se usa como valor inicial z0 para la iteración de Newton zn + 1 := zn − p(zn)p'(zn), produciendo una secuencia de puntos z1, z2, …, Si la secuencia converge a la raíz ζk, entonces z0 era un elemento de la región Gk. Sin embargo, para cada polinomio de grado al menos 2 hay puntos para los cuales la iteración de Newton no converge a ninguna raíz: ejemplos son los límites de las cuencas de atracción de las diversas raíces. Incluso hay polinomios para los que conjuntos abiertos de puntos de partida no convergen a ninguna raíz: un ejemplo simple es z3 − 2z + 2, donde algunos puntos son atraídos por el ciclo 0, 1, 0, 1… en lugar de por una raíz. Un conjunto abierto para el cual las iteraciones convergen hacia una raíz o ciclo dado (que no es un punto fijo), es un conjunto de Julia para la iteración. El conjunto complementario a la unión de todos estos, es el conjunto de Julia. Los conjuntos de Fatou tienen un límite común, a saber, el conjunto de Julia. Por lo tanto, cada punto del conjunto de Julia es un punto de acumulación para cada uno de los conjuntos de Fatou. Es esta propiedad la que causa la estructura fractal del conjunto de Julia (cuando el grado del polinomio es mayor que 2). Para trazar imágenes interesantes, primero se puede elegir un número específico d de puntos complejos (ζ1, …, ζd) y calcular los coeficientes (p1, …, pd) del polinomio . Luego, para una retícula rectangular de puntos en ℂ, se encuentra el índice k(m,n) de la raíz correspondiente ζk(m,n) y se usa para llenar una cuadrícula de M × N píxeles, asignando a cada punto (m,n) un color fk(m,n). Además o alternativamente, los colores pueden depender de la distancia D(m,n), que se define como el primer valor D tal que | zD − ζk(m,n) | < ε para algunos ε > 0 pequeños previamente fijados.