specjalna grupa unitarna

Specjalna grupa unitarna stopnia oznaczana symbolem jest grupą Liego specjalnych macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1. (Macierze unitarne mają w ogólności wyznacznik zespolony postaci czyli liczbę o module 1). Istnieją różne reprezentacje danej grupy tworzone przez specjalne macierze unitarne tego samego wymiaru. Przy czym: (1) Reprezentacja fundamentalna grupy składa się z macierzy wymiaru (2) Inne reprezentacje grupy składają się z macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego lub większego niż jednakże ich generatory muszą spełniać te same relacje komutacyjne, jak generatory reprezentacji fundamentalnej (dokładniej objaśniono to dalej). Działaniem w grupie macierzy (dla danej reprezentacji) jest mnożenie macierzy przez siebie, elementem neutralnym mnożenia jest macierz jednostkowa (dla reprezentacji fundamentalnej jest to macierz ). Liczba parametrów opisująca macierze grupy – niezależnie od reprezentacji – wynosi Każdą specjalną macierz unitarną grupy dowolnego wymiaru można bowiem przedstawić za pomocą eksponenty zależnej od najwyżej parametrów gdzie: jest wymiarowym wektorem parametrów rzeczywistych, jest wektorem liniowo niezależnych macierzy hermitowskich o śladzie równym zeru; macierze nazywa się generatorami grupy przy czym wymiar generatorow macierzy wymiaru jest także równy Grupę definiują związki komutacji (omówiono to dalej), jakie istnieją pomiędzy generatorami jej reprezentacji fundamentalnej. Przy tym związki komutacyjne np. dla grupy są inne niż dla itd. Generatory reprezentacji fundamentalnej danej grupy są macierzami wymiaru (dla innych reprezentacji generatory są macierzami o mniejszym lub większym wymiarze niż ). Ponadto, istnieje wiele możliwych wyborów generatorów dla każdej reprezentacji, dlatego zwykle dodatkowo przyjmuje się warunek normalizacji, określający ślady kwadratów generatorów: