群の生成系

抽象代数学において、群の生成系、生成集合 (generating set of a group) は部分集合であって群のすべての元が（群演算のもとで）その部分集合の有限個の元とそれらの逆元の結合として表現できるものである。 言い換えると、S が群 G の部分集合であれば、<S>、S で生成される部分群 (subgroup generated by S)、は S のすべての元を含む G の最小の部分群である、すなわち S のすべての元を含む部分群すべてに渡る共通部分である。同じことだが、 は S の元とそれらの逆元の有限積として書ける G のすべての元からなる部分群である。 G = であれば、S は G を生成する (generate) といい、S の元は生成元 (generator) や群の生成元 (group generator) と呼ばれる。S が空集合であれば、<S> は自明群 {e} である、なぜならば空積を単位元と考えるからである。 S にたった1つの元 x しかなければ、<S> は通常 <x> と書かれる。この場合、<x> は x のベキからなる巡回部分群 (cyclic subgroup) であり、巡回群で、この群は x によって生成されるという。元 x が群を生成すると言うことと同値なことは <x> が群全体と等しいと言うことである。有限群に対しては、x が位数 |G| をもつと言っても同値である。