zbiór generatorów grupy

Zbiór generatorów grupy – podzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to taki podzbiór grupy, że każdy element grupy można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej). Ogólniej, jeżeli jest podzbiorem grupy to podgrupa generowana przez , oznaczana symbolem jest najmniejszą podgrupą grupy zawierającą każdy element zbioru czyli częścią wspólną wszystkich podgrup zawierających elementy . Równoważnie to podgrupa tych wszystkich elementów które mogą być przedstawione jako skończony iloczyn elementów i ich odwrotności. Gdy to mówi się, że generuje . Elementy nazywa się wtedy generatorami grupy . Jeśli jest zbiorem pustym, to jest grupą trywialną Jeśli zawiera tylko jeden element to zwykle pisze się (z tego zapisu korzysta się także dla skończonej liczby generatorów). W tym przypadku jest podgrupą cykliczną potęg która jest grupą cykliczną; mówi się wtedy, że grupa ta jest generowana przez O tym, że generuje grupę można równoważnie powiedzieć, iż jest równe całej grupie Dla grup skończonych jest to także równoważne stwierdzeniu, iż ma rząd równy