群的生成集合

在抽象代數中，群 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表達為 S 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積。 更一般的說，如果 S 是群 G 的子集，則 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群，這意味著它是包含 S 元素的所有子群的交集；等價的說，<S> 是 G 中所有可以用 S 的元素和它們的逆元中的有限乘積表達的元素的子群。 如果 G = <S>，則我們稱 S 生成 G；S 中的元素叫做生成元或群生成元。如果 S 是空集，則 <S> 是平凡群 {e}，因為我們認為空乘積是單位元。 在 S 中只有一個單一元素 x 的時候，<S> 通常寫為 <x>。在這種情況下，<x> 是 x 的冪的循環子群，我們稱這個循環群是用 x 生成的。與聲稱一個元素 x 生成一個群等價，還可以聲稱它有階 |G|，或者說 <x> 等于整個群 G。