genererende verzameling

In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep een deelverzameling , zodat elk element van kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van en hun inversen. Als door wordt gegenereerd, schrijft men . De elementen van worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd. Andersom, als een deelverzameling is van een groep , dan is , de ondergroep gegenereerd, voortgebracht, door , de kleinste ondergroep van die elk element van bevat, wat betekent dat het de doorsnede is van alle ondergroepen die elk element van bevatten. Dat komt ermee overeen dat de ondergroep is van alle elementen van die als het eindige product van de elementen van en hun inversen kunnen worden uitgedrukt. Als er slechts één enkel element deel uitmaakt van , wordt meestal geschreven als . In dat geval is de cyclische ondergroep van de machten van , een cyclische groep. wordt dus door gegenereerd en heet de voortbrenger van de groep. De orde van een element is gedefinieerd als de orde van , het aantal elementen. Als de lege verzameling is, dan is de triviale groep , dit omdat we het lege product beschouwen als de identiteit.