conjunto gerador de um grupo

Na álgebra abstrata, um conjunto gerador de um grupo é um subconjunto que não está contido em nenhum subgrupo próprio do grupo. Equivalentemente, um conjunto gerador de um grupo é um subconjunto, tal que todo elemento do grupo pode ser expresso como a combinação (sob a operação do grupo) de elementos finitos do subconjunto e seus inversos.Generalizando, se S é um subconjunto do grupo G, então <S>, o subgrupo gerado por S, é o menor subgrupo de G contendo todos os elementos de S, significando a inserção em todos os subgrupos contendo os elementos de S; Equivalentemente, é o subgrupo de todos os elementos de G que podem ser expressos como um produto finito de elementos em S e seus inversos. Se G = , então dizemos que S gera G; e os elementos em S são chamados geradores ou grupo gerador. Se S é um conjunto vazio, então <S> é o grupo trivial {e}, desde que consideremos o produto vazio como sendo Identidade. Quando há somente um único elemento x em S, <S> é geralmente escrito como <x>. Neste caso, <x> é o subgrupo cíclico das potências de x, um grupo cíclico, e dizemos que este grupo é gerado por x. Equivalente a dizer que um elemento x gera um grupo é dizer que <x> equivale ao grupo de inteiros G. Para grupos finitos, também é equivalente a dizer que x tem ordem |G|.