Poincaré-groep

In de natuurkunde en groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de poincarégroep, vernoemd naar Henri Poincaré, de groep van coördinatentransformaties van de minkowskiruimtetijd die de eigentijd behouden. Het is een 10-dimensionale niet-compacte liegroep. De abelse groep van translatie is een normale deelgroep of normaaldeler, terwijl de lorentzgroep een deelgroep is, de "stabilisator" van een punt. Dat wil zeggen dat de volledige poincarégroep de affiene groep van de lorentz-groep is, het van de translaties van de lorentztransformaties: Een andere manier om de poincarégroep te beschrijven is een van de lorentzgroep door een van de poincarégroep. Haar positieve energie unitaire onherleidbare worden geïndexeerd door massa (niet-negatief getal) en spin (geheel getal of half geheel getal), die worden geassocieerd met deeltjes in de kwantummechanica. In overeenstemming met het Erlanger Programm, wordt de meetkunde van de minkowskiruimte gedefinieerd door de poincarégroep: de minkowskiruimte wordt beschouwd als een homogene ruimte voor de groep. De poincaréalgebra is de liealgebra van de poincarégroep. In componentenvorm wordt het poincaréalgebra gegeven door de commutatierelaties: * * * waar de generator van translaties, de generator van de lorentztransformaties en de minkowskimetriek is (zie tekenconventie). De poincarégroep is de volledige symmetriegroep van een relativistische veldtheorie. Als gevolg daarvan vallen alle elementair deeltjes in de representaties van deze groep. Deze worden meestal gespecificeerd door de vierimpuls van elk deeltje (dat wil zeggen haar massa) en de intrinsieke kwantumgetallen JPC, waar J het spinkwantumgetal, P de pariteit en C het ladingconjugatie kwantumgetal is. Veel kwantumveldtheorieën schenden de pariteit en de ladingconjugatie. In die gevallen laat men de P en de C vallen. Aangezien CPT een invariantie van elke kwantumveldentheorie is, zou een tijdsomkeringskwantumgetal gemakkelijk geconstrueerd kunnen worden uit deze gegeven mogelijkheden. Als een topologische ruimte heeft de poincarégroep vier samenhangende componenten: de component van de identiteit, de tijdomdraaiingcomponent, de ruimtelijke inversiecomponent en de component die zowel de tijd als de ruimte omdraait.